Komplexität / Wege ins Chaos

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Das Lorenz-System zeigt einen interessanten Weg ins Chaos, der als Krise und Intermittenz bzw. Pomeau-Manneville-Szenario bezeichnet wird.

Der Attraktor des Lorenz-Systems durchläuft starke qualitative Veränderungen auf dem Weg ins Chaos. Diese Veränderungen deuten sich in der Nähe von Phasenübergängen durch Intermittenzen in den Zeitreihen an, bei denen ein einfacher periodischer Grenzzyklus zunehmend „aus dem Tritt gerät“, bis er sich beim Überschreiten der Grenze zum Chaos völlig verändert hat. 

Das Java-Applet (links) zeigt das Lorenz-System für r = 350. Der einfache Grenzzyklus lässt die spätere (chaotische) Form noch nicht erahnen. 

Die generierenden Gleichungen lauten:  
   
  

 

 

Wird r verringert kommt es zunächst zu Periodenverdopplungen.   

 

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Das Java-Applet (links) zeigt das Lorenz-System für r = 166. Der Grenzzyklus hat seine Periode verdoppelt. 

   
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Das Java-Applet (links) zeigt das Lorenz-System für r = 120. Das Verhalten wird zunehmend komplexer und die reguläre, zyklische Gestalt verliert sich. 

  
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Das Java-Applet (links) zeigt das Lorenz-System für r = 29. Das Verhalten ist nun chaotisch. 


   

Abbildung: Bäckertransformation

Darstellung der so genannten Bäckertransformation, die in einem Knetvorgang divergierende Trajektorien (3. von links) zurückfaltet (4. und 5. von links). Zudem laufen die Prozesse mit der Zeit in sich zurück (6. von links). Der Knetvorgang beginnt erneut.
(Mehr dazu: Strunk, G. & Schiepek G. (2014) Therapeutisches Chaos)

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