Lehre & Beratung / Einführung in die Theorie komplexer Systeme - Corona.Verbreitung

27.03.2020

Komplexe Systemen werden unglaublich komplex, bevor sich etwas verändert. Der Beginn der Kriese hat sich durch eine hohe Komplexität ausgezeichnet. Ein erneutes Ansteigen der Komplexität kann bedeuten, dass sich das System auf ein neues - hoffentlich besseres - Muster einstellt.

Am 15.03. habe ich an die bis dahin vorliegenden Daten für Wien ein Polynom angepasst. Der Verlauf war/ist gemäßigter als der einer Exponentialfunktion durch die gleichen Daten. Dieses Polynom hat bis zum 23.03. auch tatsächlich besser zu den Daten gepasst. Inzwischen scheint das Polynom die Fallzahlen deutlich zu unterschätzen. Eine neue Prognose beruht auf einer Exponentialfunktion, die für die Daten zwischen dem 06.03 und dem 26.03. angepasst wurde.
Komplexitätsforschung: Die grüne Kurve zeichnet den Verlauf der Komplexität der Daten nach. Das System war zu Beginn wenig geordnet und hat sich dann schnell stabilisiert. Eine Verhaltensänderung würde laut Theorie erneut zu einer Destabilisierung mit erhöhter Komplexität führen.

  

26.03.2020

Komplexe Systemen werden unglaublich komplex, bevor sich etwas verändert. Der Beginn der Kriese hat sich durch eine hohe Komplexität ausgezeichnet. Ein erneutes Ansteigen der Komplexität kann bedeuten, dass sich das System auf ein neues - hoffentlich besseres - Muster einstellt. (Siehe dazu auch hier.)

Die aktuellen Daten für Wien zeigen erneut ungünstige Abweichungen von der Prognose, die ich am 15.03. erstellt habe (Polynom). Ein aktuelles Exponentialmodell passt besser, was aber eben keine Verbesserung wäre. Noch weichen die Daten der letzten 14 Tage nicht signifikant von den Prognosemodelle ab.

Ich möchte noch einmal darauf hinweisen, dass ein zusammenfassendes Bild für ganz Österreich nicht funktionieren kann. Verbesserungen in dem einen Bundesland können Verschlechterungen in einem anderen ausgleichen. Die einzelnen Bundesländer sind sehr verschieden betroffen, unterschiedlich dicht besiedelt und von unterschiedlichen Maßnahmen betroffen. Exemplarisch poste ich hier Entwicklungen in Wien.

    

Die orangenen Punkte wurden für die Modellanpassung des Polynoms benutzt. Das Polynom beruht also auf Daten bis zum 15.03. Die dunkelrote Kurve durch diese Punkte wird verlängert (Prognose). Die blauen Punkte zeigen die tatsächlichen Fallzahlen. Die Daten sind die jeweils gegen 15 Uhr veröffentlichten Zahlen (LINK). Ein einfacher exponentieller Verlauf wurde zudem für alle bisher vorliegenden Daten angepasst. Er verläuft steiler als das Polynom. Da das Exponentialmodell neuere Daten berücksichtigt passt es auch besser. Das alleine ist also kein Wunder. Ungünstig ist aber, dass es einen steileren Verlauf zeigt.
Komplexitätsforschung: Die grüne Kurve zeichnet den Verlauf der Komplexität der Daten nach. Das System war zu Beginn wenig geordnet und hat sich dann schnell stabilisiert. Eine Verhaltensänderung würde laut Theorie erneut zu einer Destabilisierung mit erhöhter Komplexität führen.

 

25.03.2020

Komplexe Systeme verhalten sich unvorhersehbar. Das ist es, was sie als komplexe Systeme auszeichnet.

Die Synergetik ist eine der einflussreichsten Komplexitätstheorien. Sie wurde zunächst entwickelt um Selbstorganisationsprozesse im Laser zu erklären und dann auf verschiedene andere Bereiche der belebten und unbelebten Natur übertragen. Unten wurden schon dargestellt, wie ein zunächst ungeordnetes System durch Selbstorganisationsprozess erst allmählich und dann lawinenartig beschleunigt in ein "geordnetes" Verhalten übergeht. Die Synergetik sagt für Systeme - wie sie bei der Verbreitung eines Virus vorliegen könnten - voraus, dass sie sich zunächst ungeordnet verhalten und dann zunehmend in den Sog der Selbstorganisation geraten. Sie sollten zu Beginn hoch komplex sein. Das ist durchaus plausibel. Sind erst wenige Fälle gegeben, dann kann das System sich auch noch anders entwickeln. Geht die erste infizierte Person nicht mehr vor die Tür, dann kann die Geschichte hier schon enden. Erst wenn immer mehr Fälle dazu kommen, ist die Lawine ohne drastische Maßnahmen nicht mehr aufzuhalten. Zu Beginn ist noch alles offen; danach wird die Beeinflussung des Systems sehr viel schwerer.

Messungen der Komplexität von Zeitreihendaten sind heute durchaus möglich und üblich. Z.B. messen moderne Sportuhren die Komplexität der Herzfrequenz und bestimmen daraus den Fitnesslevel von Sportlerinnen und Sportlern. Für die Messung der Komplexität in kurzen Datenreihen haben Schiepek und Strunk ein Verfahren vorgeschlagen (Dynamische Komplexität). Wendet man dieses Verfahren auf die Veränderungsraten der Corona-Fallzahlen für Wien an, so zeigt sich der Übergang von der Unordnung zur Ordnung sehr deutlich: Zunächst ist das System hoch komplex und dann nur mehr erschreckend einfach vorhersagbar.

Die Synergetik geht davon aus, dass sich eine neuerliche Veränderung des Systemverhaltens erneut durch eine Komplexitätserhöhung ankündigt. Wir werden sehen.

Zu Beginn des letzten Jahres haben wir ein Forschungsprojekt bei der FFG eingereicht, um mit den Methoden der Komplexitätsforschung "Frühwarnsysteme für Krisen" zu entwickeln (Kurzversion des Antrags). Das Projekt wurde nicht für förderwürdig befunden. Wer braucht schon Methoden zur Vorhersage von Krisen?

 

Die orangenen Punkte wurden für die Modellanpassung des Polynoms benutzt. Die dunkelrote Kurve durch diese Punkte wird verlängert. Die blauen Punkte zeigen die tatsächlichen Fallzahlen. Die Daten sind die jeweils gegen 15 Uhr veröffentlichten Zahlen (LINK). Ein einfacher exponentieller Verlauf wurde zudem für alle bisher vorliegenden Daten angepasst. Er verläuft steiler als das Polynom. Die grüne Kurve zeichnet den Verlauf der Komplexität der Daten nach. Das System war zu Beginn wenig geordnet und hat sich dann schnell stabilisiert. Eine Verhaltensänderung würde laut Theorie erneut zu einer Destabilisierung mit erhöhter Komplexität führen.

 

24.03.2020

Komplexe Systeme verhalten sich unvorhersehbar. Das ist es, was sie als komplexe Systeme auszeichnet.

Am 15.03. - also noch vor Einführung der Maßnahmen - habe ich ein einfaches Polynom an die bis dahin vorliegenden Daten angepasst (siehe unten). Dieses Modell hat immer noch Gültigkeit. Eine Verbesserung durch die Maßnahmen ist derzeit noch nicht erkennbar. Die heutigen Daten liegen sogar deutlich über der Schätzung. Insgesamt ist die Verbreitung des Corona Virus in Wien immer noch erschreckend einfach vorherzusagen. Das Systemverhalten ist derzeit leider nicht komplex.

    

Die orangenen Punkte wurden für die Modellanpassung benutzt. Die rote Kurve durch diese Punkte wird verlängert. Die blauen Punkte zeigen die tatsächlichen Fallzahlen. Die Daten sind die jeweils gegen 15 Uhr veröffentlichten Zahlen (LINK).

  

23.03.2020

Komplexe Systeme verhalten sich unvorhersehbar. Das ist es, was sie als komplexe Systeme auszeichnet. Die Verbreitung des Corona-Virus ist hingegen immer noch erschreckend einfach vorherzusagen.

      

Die orangenen Punkte wurden für die Modellanpassung benutzt. Die rote Kurve durch diese Punkte wird verlängert. Die blauen Punkte zeigen die tatsächlichen Fallzahlen. Die Daten sind die jeweils gegen 15 Uhr veröffentlichten Zahlen (LINK).

   

Prognosen und deren Zuverlässigkeit sind ein zentraler Forschungsgegenstand der Komplexitätsforschung. Prognosen über die zeitliche Entwicklung eines Systems können mit verschiedenen Methoden erstellt werden:

Ein konkretes Modell ist bereits bekannt: Wachstums und Vermehrungsprozesse werden seit Mitte des 19. Jahrhunderts mit einfachen mathematischen Modellen beschrieben. Das sog. Verhulst-Modell - es wurde bereits um 1844 von Pierre François Verhulst vorgeschlagen - setzt sich aus zwei simplen Funktionsteilen zusammen. Der eine beschreibt die Vermehrung und die andere den Rückgang. Die Vermehrung wird durch eine konstante Vermehrungsrate modelliert. Diese führt zum typischen exponentiellen Wachstum. In vielen Artikeln und Berichten über das Corona Virus wird auf das exponentielle Wachstum Bezug genommen. Diese Annahmen sind identisch mit dem Verhulst-Modell. Neben der Vermehrung sieht die Verhulst-Gleichung zudem eine Reduktion vor, die sich dadurch ergibt, dass Neuansteckungen eben nur dann möglich sind, wenn nicht bereits alle angesteckt sind. Je mehr Personen bereits betroffen sind, desto weniger neue Ansteckungen sind möglich. Es ist klar, dass diese Reduktion erst bei hohen Fallzahlen bedeutsam wird. Das Verhulst-Modell ist ein Modell aus dem Lehrbuch und es kann für reale Daten genutzt werden, indem man die für das Modell nötigen Vermehrungsraten aus den Daten schätzt und in die Gleichung einsetzt. Damit die Vorhersage funktioniert, sollten sowohl die Modellannahmen zutreffend, als auch die Daten zuverlässig sein. (Das Verhulst-Modell ist in folgenden Büchern von mir ausführlich dargestellt: Therapeutisches Chaos, Systemische Psychologie, Komplexe Welt).

Mathematik, die auf alles passt: Wenn man nicht über eine fertig mathematische Gleichung für ein Problem verfügt oder dieser nicht raut, kann man auf Gleichungen zurückgreifen, die sich auf alles anpassen lassen. Solche flexiblen Gleichungen sind z.B. Polynome. Je mehr Teilgleichungen ein Polynom enthält, desto besser lässt es sich an beliebige Daten anpassen. Das Polynom sagt inhaltlich nichts aus über die Mechanismen, die ablaufen - diese könnten auch ganz anders aussehen, aber es erlaubt es den jeweiligen Prozess in einer Gleichung einzufangen und nachzubilden. Diese Gleichung kann dann benutzt werden, um auch einige Tage in die Zukunft zu schauen. Ob sie auch dafür geeignet ist zeigt sich aber erst, wenn sie mit den tatsächlichen Daten immer wieder verglichen wird. Ein solches Polynom habe ich für die Corona Fallzahlen in Wien erstellt und gestern bereits dargestellt (siehe unten).

Selbstorganisation:  Beide Möglichkeiten können genutzt werden, um Prognosen zu erstellen. Diese Prognosen beschreiben ein Bild von den Geschehnissen, welches sehr weit entfernt ist vom Schicksal einzelner erkrankter Menschen. Sie gehen davon aus, dass eine Vorhersage der Fallzahlen möglich ist, ohne jede einzelne Person im Detail zu kennen und ohne zu wissen, wen sie wann und wo getroffen hat und noch treffen wird und wie sie diese anderen Personen begrüßt und so weiter. Die Gleichungen beschreiben also ein Bild aus großer Entfernung. Es ist ein Muster auf der Makroebene des Systems. Diese entsteht aus den vielen Einzelschicksalen von Menschen und der unglaublich großen Vielfalt ihrer Verhaltensweisen. Die Ebene der einzelnen Menschen und ihrer Verhaltensweisen wird als Mikroebene eines Systems bezeichnet.

Wenn aus der unermesslichen Vielzahl von Systemelementen und Einflüssen der Mikroebene ein deutlich erkennbares Muster wird, handelt es sich um einen Prozess der Selbstorganisation. Die Einzelteile bringen das Muster der Makroebene hervor, ohne das sie wissen wie sie dazu beitragen. Gleichzeitig ist das entstehende Muster mächtig und zwingt die Einzelteile in seinen Bann. Da es genügt, das Menschen einander begegnen, um das Virus weiterzutragen, ist unbedeutend was sie sonst so tun. Wenn jede erkrankte Person mehr als nur eine weitere ansteckt, dann wird sich das Virus weiter verbreiten. Aus der Vielfalt des Lebens kann im Rahmen einer Epidemie/Pandemie ein erschreckend einfaches und extrem stabiles Muster entstehen. Selbstorganisation ist ein Prozess, der schnell und dramatisch verlaufen kann.

Theorien der Selbstorganisation gehören zu den zentralen Theorien Komplexer Systeme (vgl. Systemische Psychologie). Sie fragen danach, wie aus der Vielfalt an Möglichkeiten ein dominantes Muster hervortritt. Ein solches dominantes Muster lässt sich dann vielleicht in einer Gleichung beschreiben. Aber, es könnte sein, dass jedes System eine etwas andere Gleichung hervorbringt. Die Komplexitätsforschung geht davon aus, dass sich viele Systeme nicht an vorgefertigten einfachen Gleichungen halten.

Die Lösung: Wenn man die Mikroebene des Systems möglichst gut im Computer simuliert, dann kann man das entstehende makroskopische Muster direkt beobachten. Möglicherweise weicht es von den vorgefertigten Gleichungen aus der Literatur stark ab.

Autonome Agenten: Eine seit langen bekannte Methode ist die der Simulation mit Autonomen Agenten. Auch wir von Complexity-Research haben solche Simulationen schon vor ca. 20 Jahren programmiert und genutzt (LINK). Dazu wird ein gigantisches Schachbrettfeld erzeugt. Auf diesem befinden sich - zufällig angeordnet - die autonomen Agenten. Wie viele es sind und wie dicht sie zueinander stehen kann man in der Simulation frei wählen. Die Agenten bewegen sich zufällig von Zeitschritt zu Zeitschritt auf dem Schachbrett und treffen dabei andere Agenten. Diese können sich mit einer vorgewählten Wahrscheinlichkeit gegenseitig anstecken und bewegen sich danach weiter zufällig über das Feld. Nimmt man typische Bewegungsmuster z.B. einer Großstadt als Grundmuster, kann man die dort auftretenden Bewegungen und Begegnungen im Computer nachbilden. Solche Simulationen werden viele hundert mal mit immer neuen Zufallskonstellationen gestartet und die Ergebnisse können gemittelt werden. Solche Modelle sind also nicht darauf angewiesen, dass das makroskopische Muster von Beginn an bekannt ist. Das ist ein großer Vorteil. Hilfreich ist zudem, dass man verschiedene Verhaltensregeln für die simulierten Agenten gegeneinander antreten lassen kann. So kann man sehen ob Maßnahmen wie Schulschließungen - zumindest im Modell - wirksam sind. Simulationen sind aber nur so gut wie die Modellannahmen, die in das Modell einfließen. Es handelt sich um eine virtuelle Welt im Computer und die Passung zur realen Welt stellt ein ernstzunehmendes Problem dar.

 

22.03.2020

Komplexe Systeme verhalten sich unvorhersehbar. Das ist es, was sie als komplexe Systeme auszeichnet. Die Verbreitung des Corona-Virus ist hingegen erschreckend einfach vorherzusagen. Solange es nicht gelingt, durch Maßnahmen die Ansteckungsraten zu drücken, folgt die Verbreitung einem simplen exponentiellen Verlauf. Die ungebremste Verbreitung des Corona-Virus zeigt also kein komplexes Verhalten.

Vorhersagemodelle können leicht aus gegebenen Daten bestimmt werden. Dabei scheint es wichtig, nicht ein Modell für ein ganzes Land zu erstellen, sondern lokale Besonderheiten zu berücksichtigen indem lokale Modelle für einzelne Bundesländer oder gar Gemeinden erstellt werden.

Nimmt man etwa die Daten für Wien bis zum 15.03. um ein Modell anzupassen, so können aus diesem Modell Vorhersagen über den weiteren Verlauf getroffen werden. Die Anpassung eines exponentiellen Modells ist einfach und kann im Excel geschehen. Die Fallzahlen bis zum 15.03. werden zunächst logarithmiert. Der exponentielle Verlauf wird damit geradegebogen zu einer linearen Kurve. Für diese kann mit einer einfachen Regression die Steigung bestimmt werden und der weitere logarithmierte Verlauf vorhergesagt werden. Macht man die Logarithmierung dann wieder rückgängig - durch eine Exponentialfunktion - so erhält man die vorhergesagten Fallzahlen.

Für aufwändigere Modelle kann eine andere Software hilfreich sein. GChaos (LINK) erlaubt es Polynome anzupassen, so dass auch Dellen, Abflachungen und kleine Peaks modelliert werden können. Der prognostizierte Kurvenverlauf sieht damit nicht viel anders aus als ein simples exponentielles Modell ist aber eventuell passgenauer.

Für Wien zeigt sich ab dem 16.03. ein vorhergesagter Verlauf der dramatisch ansteigt. Die tatsächlichen Fallzahlen lassen sich damit vergleichen. Ein simpler statistischer Test berechnet zunächst den Unterschied zwischen der vorhergesagten und tatsächlichen Fallzahl. Dieser wird quadriert und durch die vorhergesagte Zahl geteilt. Kommt ein Wert heraus der größer ist als 2,7 so ist die Abweichung statistisch bedeutsam (signifikant). Das Vorgehen ist ein sog. Chi-Quadrat-Test.

Die Fallzahlen für Wien zeigen bisher keine bedeutsamen Abweichung von der Prognose. Das ist nicht gut, aber vielleicht auch kein Wunder - denn die mittlere Inkubationszeit liegt bei 5-6 Tagen und erst danach kann sich eine Wirkung der Maßnahmen zeigen. Sie müsste in den nächsten Tagen deutlich werden.

Die orangenen Punkte wurden für die Modellanpassung benutzt. Die rote Kurve durch diese Punkte wird verlängert. Die blauen Punkte zeigen die tatsächlichen Fallzahlen. Die Daten sind die jeweils gegen 15 Uhr veröffentlichten Zahlen (LINK).

 

   

Abbildung: Veränderung der Potenziallandschaft bei einem Phasenübergang

Die Abbildung stellt in drei Schritten dar, wie sich die so genannte Potenziallandschaft bei einem Phasenübergang verändert. Die Metapher der Potenziallandschaft kennzeichnet attraktive Systemzustände als tiefe Täler und unattraktive als hohe Berge oder steile Wände. Im Attraktor (a) sind die steilen Wände und das Tal klar ausgeprägt, die Kugel, die das Systemverhalten repräsentiert, rollt nach einer Auslenkung schnell zurück in den Attraktor. Das Einzugsgebiet des Attraktors wird in der Nähe zum Bifurkationspunkt zunächst flacher (b) und geht im Bifurkationspunkt in einen Potenzialhügel (so genannter Repellor) über (c).
(Mehr dazu: Strunk, G. & Schiepek G. (2014) Therapeutisches Chaos)

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