Nichtlinearität

Nichtlinearität gilt mitunter als Synonym für Komplexität

Linearität wird oft als triviale Ordnung dargestellt, der die Nichtlinearität als Inbegriff der Komplexität gegenübergestellt wird. Dies ist häufig ein Missverständnis. Es gibt jedoch einen wahren Kern.

Zunächst zum Missverständnis: Die Begriffe „linear” und „nichtlinear” stammen aus der Mathematik und bezeichnen dort den Typus einer Funktionsgleichung. Lineare Funktionsgleichungen führen in einem Koordinatensystem immer zu einer geraden Linie. Diese kann negativ nach unten zeigen, gar nicht steigen oder positiv nach oben gehen. Auch Verschiebungen der Geraden sind möglich. Sie muss nicht durch den Nullpunkt gehen. Lineare Funktionen sind Geradengleichungen. Mathematisch haben lineare Gleichungen einige sehr hilfreiche Eigenschaften, die eine schnelle und einfache Lösung ermöglichen. Nichtlineare Gleichungen haben dagegen keine bestimmte Form. Sie weichen aber durch ihr „kurviges“ Verhalten von der geraden Linie ab. Sie können beispielsweise zunächst schnell steigen und dann ein Plateau bilden (Logarithmus) oder eine Parabelform aufweisen (Quadrat) usw. Mathematisch bereiten sie mitunter derart viele Schwierigkeiten, dass man gerne versucht, sie durch Geradengleichungen zu ersetzen. In einer Vorlesung hört man dann auch mal den Satz: „In guter Näherung ist diese Kurve in diesem Bereich linear darstellbar.“ Damit ist gemeint, dass das, was man tut, nicht wirklich stimmt, aber einigermaßen übereinstimmt. Heute wissen wir, dass dies in sehr vielen Fällen ein Irrtum ist.

Nun zum Missverständnis: Sowohl im allgemeinen Sprachgebrauch als auch in den Medien und sogar in vielen wissenschaftlichen Arbeiten werden die Begriffe linear bzw. nichtlinear nicht im mathematischen Sinne verwendet. So wird „linear” als „einfach” und „nichtlinear” als „schwierig” verstanden. Das ist nicht falsch, aber es ist dennoch nicht gerechtfertigt, die Begriffe gleichzusetzen. Auch quadratische Gleichungen können schließlich gelöst werden. Nur ab und an kommt es zu Problemen, und diese liegen nicht nur an der Nichtlinearität. Es kann auch Problemstellungen geben, die wir nicht lösen können, ohne dass das irgendetwas mit Nichtlinearität zu tun hätte. Einige bevorzugen den Begriff „nichtlineare Dynamiken” gegenüber „schwer vorhersagbaren Entwicklungen”, weil er cooler klingt. Mit Wissenschaft hat das nichts zu tun. Der Begriff „Linearität” wird auch gerne für Prozesse verwendet, die seriell ablaufen, wie etwa Dominosteine, die, wenn sie umfallen, den nächsten Stein umwerfen. So entsteht eine Abfolge von Ereignissen. Abfolgen werden inzwischen gerne als linear bezeichnet, etwa wenn vom linearen Fernsehen die Rede ist, um die feste Abfolge von Sendungen im Fernsehprogramm zu umschreiben. Aber auch das hat nichts mit Linearität im ursprünglichen Wortsinn zu tun. Im Englischen gibt es dafür den Ausdruck „lineal series of events“. Das korrekte Wort für solche Prozesse lautet „lineal“. Das Gegenteil wäre „nichtlineal“ und das wäre ein Feedbackprozess, bei dem das Ergebnis eines Prozesses zum erneuten Input wird. Ein Beispiel hierfür ist der Kühlschrank.

Warum Nichtlinearität im eigentlichen Wortsinne tatsächlich für Komplexität relevant ist

Laut Strunk (z. B. 2024) haben die klassischen Naturwissenschaften vier Vereinfachungen vorgenommen. Jede dieser Vereinfachungen verhindert Komplexität. Eine dieser Vereinfachungen ist Linearität.

Die erste Vereinfachung besteht darin, Ursache-Wirkungs-Elemente als kleinsten Baustein einer Analyse festzulegen. Dadurch wird Feedback von der Betrachtung ausgeschlossen. Doch nur Feedbacksysteme können sich komplex verhalten.

Die zweite Vereinfachung reduziert ein System – in der Regel in Experimenten – auf möglichst wenige Größen. In der Regel werden nur eine Ursache und eine Wirkung betrachtet, während alle anderen Elemente des Systems konstant gehalten oder kontrolliert werden. Komplexität kann jedoch erst bei drei Elementen auftreten. Diese müssen sowohl positive als auch negative Feedbackschleifen aufweisen, damit Komplexität sichtbar wird. Die Reduktion eines Systems auf wenige Elemente ist nur bei einfachen Systemen unproblematisch.

Der dritte Aspekt war die idealisierte Betrachtung von Systemen als frei von Reibung sowie geschlossen in Bezug auf Energiezufuhr und Entropieabfuhr. Auch das scheint zunächst nicht problematisch. Zwar hat noch niemand jemals einen Körper gesehen, der, einmal in Bewegung gesetzt, immer weiter in Bewegung bleibt, doch die Vernachlässigung der bremsenden Reibung galt lange Zeit als der Trick, der uns das wahre Wesen der Dynamik offenbaren würde. Das war tatsächlich nützlich, aber in geschlossenen Systemen kann keine Komplexität auftreten.

Schließlich erfordert ein Schmetterlingseffekt auch nichtlineare Gleichungen. Diese verstärken bei Chaos kleinste Einflüsse auf das System in exponentiell wachsendem Ausmaß. Nichtlinearität ist also eine von vier Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit Systeme z. B. chaosfähig werden können. Aber selbst wenn Systeme chaosfähig sind, bedeutet das nicht, dass sie sich jederzeit und unter allen Umständen chaotisch verhalten.