GChaos / LLE

Was ist der Lyapunov-Exponent?

Wir sind es gewohnt, dass unter ähnlichen Umständen auch ähnliche Ereignisse folgen. Dabei abstrahieren wir vom konkreten Einzelfall, vereinfachen diesen indem wir spezifische Besonderheiten des Einzelfalles vernachlässigen. So spielt es gemeinhin keine Rolle welche Gegenstände wir fallen lassen, sie fallen unabhängig von ihrer Beschaffenheit nach unten. 

In chaotischen Systemen führt eine solche Vereinfachung zu fehlerhaften Vorhersagen. Bereits mikroskopische Unterschiede bei der Durchführung von Experimenten an chaotischen Systemen führen nach kurzer Zeit zu völlig anderen Ergebnissen. Chaotische Systeme enthalten einen Mechanismus, der auf winzige Störungen reagiert und diese dramatisch verstärkt. Dabei handelt es sich um keinen Fehler in der Theorie oder der Beschreibung des Systems. Es handelt sich auch nicht um eine Wissenslücke, die in Zukunft vielleicht gefüllt werden kann. Im Gegenteil es lässt sich mathematisch belegen, das es eben die Eigenschaft bestimmter Systeme ist, dass sie wie ein Verstärker funktionieren und dabei so empfindlich auf äußere oder innere Anregungen reagieren, dass eine Prognose des Systemverhaltens unmöglich wird. Diese Eigenschaft chaotischer Systeme wird auch als Schmetterlingseffekt bezeichnet. 

Chaos bedeutet demnach die exponentielle Verstärkung kleiner Störungen und verschiedene chaotische Systeme sind verschieden chaotisch in dem Sinne, dass es welche gibt, die besonders starke Verstärkungen oder eher kleine Verstärkungen aufweisen. Die Stärke der exponentiellen Verstärkung kleiner Störungen wird durch den Lyapunov-Exponenten bestimmt. Dieser kann aus Zeitreihen von Systemen auch nachträglich bestimmt werden. So könnte es interessant sein festzustellen, wie chaotisch der aktuelle Aktienmarkt ist.

Die Software GChaos von Complexity-Research hat verschiedene Algorithmen zur Bestimmung von Lyapunov-Exponenten implementiert.

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Eine ausführliche Darstellung von Grundideen der Systemischen Forschung findet sich in:

Strunk G. & Schiepek G. (2006) Systemische Psychologie. Eine Einführung in die komplexen Grundlagen menschlichen Verhaltens. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg

Strunk G. (2009) Die Komplexitätshypothese der Karriereforschung. Frankfurt am Main: Peter Lang.

   

Abbildung: Rössler-Attraktor

Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus dem Rössler-Attraktor. Dabei handelt es sich um die Darstellung eines recht einfachen mathematischen Systems, welches trotz seiner Einfachheit zu Chaos fähig ist. D.h. für dieses System ist es trotz Kenntnis der mathematischen Gleichungen nicht möglich eine langfristige Vorhersage zu machen.
Der Chemiker Erwin Rössler hat Chaos mit einem Knetvorgang verglichen, mit dem auch eine Bäckerin, ein Bäcker den Brotteig durchknetet. Der Teigklumpen wird auf der Arbeitsplatte zunächst auseinander gedrückt oder gewalzt. Was gerade noch dicht beisammen war, wird auseinandergetrieben. Danach wird der Teig zusammengefaltet und wieder zu einem Klumpen vereint, bevor er erneut ausgewalzt und wieder zusammengelegt wird.
(Mehr dazu: Strunk, G. & Schiepek G. (2014) Therapeutisches Chaos)

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